Question

如圖，將菱形ABCD放在直角坐標(biāo)中，使得點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，對(duì)角線(xiàn)BD在x軸上，點(diǎn)A恰好在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上，已知∠A=60°，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為24厘米，
（1）求函數(shù)y=

k

x

的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P以4厘米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線(xiàn)路AB→BD作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度從點(diǎn)D出發(fā)沿線(xiàn)路DC→CB→BA作勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，若按角的大小進(jìn)行分類(lèi)，確定△AMN是哪一類(lèi)三角形，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)（2）中的點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，點(diǎn)P的速度不變，點(diǎn)Q的速度改變?yōu)閍厘米/秒，經(jīng)過(guò)3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與（2）中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證△ABD是等邊三角形即可；
（2）求出P、Q走的距離，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可推出答案；
（3）分為三種情況：根據(jù)相似，得到比例式，求出Q走的距離，即可求出答案．

解答：解：（1）∵菱形邊長(zhǎng)為24，∠A=60°
∴（12，12

3

），
∵點(diǎn)A恰好在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴12

3

=

k

12

，得k=144

3

；
則該函數(shù)解析式為：y=

144 3

x

（2）∵∠A=60°，AD=AB=24cm，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BD=24cm，
∵V_P=4cm/s，
∴S_P=V_Pt=4×12=48（cm），
∴P到達(dá)D點(diǎn)，即M與D重合，
∵V_Q=5cm/s，
∴S_Q=V_Qt=5×12=60（cm），
∴N點(diǎn)在AB的中點(diǎn)，即BN=AN=12cm，
∴∠AND=90°，△AMN是直角三角形；

（3）經(jīng)過(guò)3秒后，P到達(dá)E點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)．
當(dāng)Q到達(dá)BN的中點(diǎn)F₁時(shí)，△BEF₁∽△AMN，此時(shí)BF₁=6cm，a=2cm/s；
當(dāng)Q到達(dá)BC的靠近B的四等分點(diǎn)F₂時(shí)，△BEF₂∽△AMN，此時(shí)NB+BF₂=18cm，a=6cm/s；
當(dāng)Q到達(dá)C點(diǎn)（F₃）時(shí)，△BEF₃∽△ANM，此時(shí)NB+BF₃=36cm，a=12cm/s．
綜上所述，a的值為2cm/s，6cm/s，12cm/s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．