Question

解方程：（x+3）⁴+（x+1）⁴=82．

Answer 1

解：假設(shè)y==x+2
則原方程變?yōu)椋▂+1）⁴+（y-1）⁴=82?[（y+1）²-（y-1）²]²+2（y+1）²×（y-1）²-82=0?16y²+2（y²-1）²-82=0?y⁴+6y²-40=0?（y²+10）（y²-4）=0．
∵y²+10≠0
∴只能是y²-4=0
解這個(gè)方程，得y=±2，即
x+2=±2．
解得原方程的根為x₁=0，x₂=-4．
分析：由于左邊括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)二項(xiàng)式只相差一個(gè)常數(shù)，所以設(shè)y==x+2，因而首先將原方程轉(zhuǎn)化為（y+1）⁴+（y-1）⁴=82．
通過完全平方差公式、平方差公式、因式分解將方程轉(zhuǎn)化為（y²+10）（y²-4）=0．解得y的值，再代入換元式y(tǒng)=x+2求得x的值．即為方程的解．
點(diǎn)評(píng)：本題通過換元，設(shè)y=x+2后，消去了未知數(shù)的奇次項(xiàng)，使方程變?yōu)橐子谇蠼獾碾p二次方程．一般地，形如
（x+a）⁴+（x+b）⁴=c的方程，可以用換元（設(shè)y=）的方法化為雙二次方程．