(2010•綿陽)如圖,拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(-4,0)、B(2,0),與y軸交于點C,頂點為D.E(1,2)為線段BC的中點,BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)在直線EF上求一點H,使△CDH的周長最小,并求出最小周長;
(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動,當K運動到什么位置時,△EFK的面積最大?并求出最大面積.

【答案】分析:(1)將A、B的坐標代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值,進而可用配方法求出其頂點D的坐標;
(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出C點的坐標,由于CD是定長,若△CDH的周長最小,那么CH+DH的值最小,由于EF垂直平分線段BC,那么B、C關(guān)于直線EF對稱,所以BD與EF的交點即為所求的H點;易求得直線BC的解析式,關(guān)鍵是求出直線EF的解析式;由于E是BC的中點,根據(jù)B、C的坐標即可求出E點的坐標;可證△CEG∽△COB,根據(jù)相似三角形所得的比例線段即可求出CG、OG的長,由此可求出G點坐標,進而可用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式,由此得解;
(3)過K作x軸的垂線,交直線EF于N;設(shè)出K點的橫坐標,根據(jù)拋物線和直線EF的解析式,即可表示出K、N的縱坐標,也就能得到KN的長,以KN為底,F(xiàn)、E橫坐標差的絕對值為高,可求出△KEF的面積,由此可得到關(guān)于△KEF的面積與K點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出其面積的最大值及對應(yīng)的K點坐標.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(-4,0)、B(2,0),

解得,b=-1.
所以拋物線的解析式為,頂點D的坐標為(-1,).

(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,
因為EF垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對稱點為B,
連接BD交于EF于一點,則這一點為所求點H,使DH+CH最小,
即最小為:DH+CH=DH+HB=BD=;

∴△CDH的周長最小值為CD+DH+CH=;
設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b1,則
解得:;
所以直線BD的解析式為y=x+3;
由于BC=2,CE=BC=,Rt△CEG∽Rt△COB,
得CE:CO=CG:CB,
所以CG=2.5,GO=1.5,G(0,1.5);
同理可求得直線EF的解析式為y=x+;
聯(lián)立直線BD與EF的方程,解得使△CDH的周長最小的點H();

(3)設(shè)K(t,),-4<t<2、過K作x軸的垂線交EF于N;
則KN=yK-yN=-(t+)=-
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN(t+3)+KN(1-t)=2KN=-t2-3t+5=-(t+2+;
即當t=-時,△EFK的面積最大,最大面積為,此時K(-,).
點評:此題是二次函數(shù)的綜合類試題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識,難度較大.
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