Question

（1997•福州）已知：如圖，在⊙O中，弦AB的長是半徑OA的

3

倍，C為弧AB的中點(diǎn)．AB、OC相交于P點(diǎn)，求證：四邊形OACB是菱形．

Answer 1

分析：由C為弧AB的中點(diǎn)，OC為半徑，利用垂徑定理的逆定理得到PA=PB，OC垂直于AB，由AP為AB的一半，根據(jù)題中條件用AO表示出AP，在直角三角形AOP中，利用勾股定理表示出OP，進(jìn)而確定出OP=PC，即四邊形ACBO對角線互相平分，可得出此四邊形為平行四邊形，再由對角線垂直的平行四邊形為菱形即可得證．

解答：證明：∵C為

AB

的中點(diǎn)，OC為半徑，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=

1

2

AB=

3

2

AO，
∴OP=

AO2-AP2

=

AO2- 3 4 AO2

=

1

2

OA=

1

2

OC，
∴PC=

1

2

OC，即OP=PC，
∴四邊形OACB是平行四邊形，
又∵AB⊥OC，
∴四邊形OACB是菱形．

點(diǎn)評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，菱形的判定，以及平行四邊形的判定，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．