Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，-2），點B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若點E在拋物線上，且S_△EOC=2S_△AOC，求點E的坐標；
（3）點P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于F．求△PBC面積的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因為點A（-1，0）、C（0，-2）在函數(shù)圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點B的坐標為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）利用面積公式可得△EOC的高，繼而代入二次函數(shù)解析式可求出E點坐標；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可求得點F的坐標，設P點的橫坐標為m，可得點P的縱坐標，繼而可得線段PF的長，然后利用面積和即S_△PBC=S_△CPF+S_△BPF=

1

2

PF×BO，即可求出．

解答：解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對稱性知B點坐標為（3，0），
依題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 2 3 b=- 4 3 c=-2

故所求二次函數(shù)的解析式為y=

2

3

x²-

4

3

x-2．

（2）∵S_△AOC=

1

2

•AO•CO=1
∴S_△EOC=2S_△AOC=2=

1

2

•CO•h
∴h=2，
∴E的橫坐標為±2，
將其代入二次函數(shù)解析式，
當x=2時，y=

2

3

•2²-

4

3

•2-2=-2．
當x=-2時，y=

2

3

•（-2）²-

4

3

•（-2）-2=

10

3

．
可得E點坐標為（2，-2）、（-2，

10

3

）．

（3）設直線BC的解析式為y=k₁x+b₁（k≠0，k₁、b₁是常數(shù)），P點的橫坐標為m，
即P點的縱坐標為：

2

3

m²-

4

3

m-2．
依題意，得

0=3k1+b1 -2=b1

，
解之得：

k1= 2 3 b1=-2

故直線BC的解析式為：y=

2

3

x-2；
故點F的坐標為（m，

2

3

m-2），
故PF=-

2

3

m²+m（0＜m＜3）；
∵S_△PBC=S_△CPF+S_△BPF
=

1

2

PF×BO=

1

2

×（-

2

3

m²+m）×3
=-m²+

3

2

m
∴當m=

3

4

時，△PBC的最大面積為

9

16

，
把m=

3

4

代入y=

2

3

m²-

4

3

m-2．
得y=-

21

8

，
故當P的坐標為（

3

4

，-

21

8

），△PBC有最大面積，為

9

16

．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合應用，要注意數(shù)形結(jié)合，認真分析，仔細識圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點坐標的求法，注意三角形面積的求法．