Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)．
（1）①當(dāng)E點旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：

 

．
②當(dāng)E點旋轉(zhuǎn)到CB的延長線上時（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：

 

（2）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個角度時（如圖3），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由．
（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖4），則圖中陰影部分的面積和的最大值是

 

cm²．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△ADG，則△ABE的面積=△ADG的面積；
②作GH⊥DA交DA的延長線于H，根據(jù)等角的余角相等得到∠GAH=∠EAB，根據(jù)“AAS”可判斷△AHG≌△AEP，則GH=BP，然后根據(jù)三角形面積公式得到△ABE的面積=△ADG的面積；
（2）作GH⊥DA交DA的延長線于H，EP⊥BA交BA的延長線于P，根據(jù)等角的余角相等得到∠PAE=∠GAH，根據(jù)“AAS”可判斷△AHG≌△AEP，所以GH=BP，然后根據(jù)三角形面積公式得到△ABP的面積=△ADG的面積；
（3）先根據(jù)勾股定理可計算出AC=4cm，則△ABC的面積=

1

2

×3×4=6（cm²）；然后根據(jù)（2）中的結(jié)結(jié)論計算陰影部分的面積和的最大值．

解答：解：（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，E點旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上，
∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴△ABE的面積=△ADG的面積；
②作GH⊥DA交DA的延長線于H，如圖2，
∴∠AHG=90°，
∵E點旋轉(zhuǎn)到CB的延長線上，
∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，
∴∠GAH=∠EAB，
在△AHG和△AEB中

∠AHG=∠ABE ∠GAH=∠EAB AG=AE

，
∴△AHG≌△AEB，
∴GH=BE，
∵△ABE的面積=

1

2

EB•AB，△ADG的面積=

1

2

GH•AD，
∴△ABE的面積=△ADG的面積；

（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：
作GH⊥DA交DA的延長線于H，EP⊥BA交BA的延長線于P，如圖3，
∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，
∴∠PAE=∠GAH，
在△AHG和△AEP中

∠GAH=∠EAP ∠GHA=∠EPA AG=AE

，
∴△AHG≌△AEP（AAS），
∴GH=BP，
∵△ABP的面積=

1

2

EP•AB，△ADG的面積=

1

2

GH•AD，
∴△ABP的面積=△ADG的面積；
（3）∵AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=

AB2-BC2

=4cm，
∴△ABC的面積=

1

2

×3×4=6（cm²）；
根據(jù)（2）中的結(jié)論得到陰影部分的面積和的最大值=△ABC的面積的3倍=18cm²．
故答案為相等；相等；18．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形面積公式．