Question

（2008•涼山州）如圖，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的⊙O交△ABC的三邊，交點(diǎn)分別是G，F(xiàn)，E點(diǎn)．GE，CD的交點(diǎn)為M，且ME=4，MD：CO=2：5．
（1）求證：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直徑CD的長(zhǎng)；
（3）若cos∠B=0.6，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為X軸和Y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DF，根據(jù)CD是圓直徑，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；
（2）根據(jù)D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DC=DA，∠DCA=∠A，可證明△OME與△EMC相似，所以，ME²=OM×MC，結(jié)合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，設(shè)OM=3xMC=8x，可求x=2，則直徑CD=10x=20；
（3）根據(jù)Rt△ABC斜邊AB的中線CD=20可求得AB=40，cos∠B=0.6，BC=24，AC=32．設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b把A（32，0）B（0，24）代入利用待定系數(shù)法求得，直線AB的函數(shù)解析式為y=-x+24．
解答：（1）證明：連接DF，
∵CD是圓直徑∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）解：∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴∴ME²=OM×MC，
又∵M(jìn)E=∴OM×MC==96，
∵M(jìn)D：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
設(shè)OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直徑CD=10x=20．

（3）解：∵Rt△ABC斜邊AB的中線CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中，cos∠B=0.6=，∴BC=24，
∴AC=32，
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b根據(jù)題意得A（32，0）B（0，24），
b=24，0×k+b=24解得，32×k+b=0，
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=-x+24．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．
解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．