Question

如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1 cm/s，點N的速度為2 cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？

(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？

(3)當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運動的時間．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合， 　　x×1＋12＝2x， 　　解得：x＝12． 　　(2)設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①， 　　AM＝t×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t， 　　∵三角形△AMN是等邊三角形， 　　∴t＝12－2t． 　　解得t＝4． 　　∴點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形△AMN． 　　(3)當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形， 　　由(1)知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處， 　　如圖②，假設△AMN是等腰三角形， 　　∴AN＝AM． 　　∴∠AMN＝∠ANM． 　　∴∠AMC＝∠ANB 　　∵AB＝BC＝AC， 　　∴△ACB是等邊三角形． 　　∴∠C＝∠B 　　在△ACM和△ABN中， 　　 　　∴△ACM≌△ABN． 　　∴CM＝BN． 　　設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形， 　　∴CM＝y(tǒng)－12，NB＝36－2y，CM＝NB 　　y－12＝36－2y， 　　解得：y＝16．故假設成立． 　　∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運動的時間為16秒．