Question

【題目】如圖點P為△ABC的外角∠BCD的平分線上一點，PA=PB．

（1）如圖1，求證：∠PAC=∠PBC；

（2）如圖2，作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，則= ；

（3）如圖3，若M、N分別是邊AC、BC上的點，且∠MPN=∠APB，則線段AM、MN、BN 之間有何數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）3：8；（3）AM+MN=BN.

【解析】試題分析：（1）先利用角平分線定理判斷出PE=PF，進而判斷出Rt△PAF≌Rt△PEB，即可得出結論；

（2）先判斷出△PCF≌△PCE，進而得出CF=CE，而Rt△PAF≌Rt△PEB得出AF=BE即可得出AC+CF=BC﹣CE，進而求出CE=CF=3，即可求出結論；

（3）先判斷出△PMA≌△PQB，進而得出∠APB=∠MPQ，即可判斷出△MPN≌△QPC，得出MN=QN即可得出結論．

試題解析：解：（1）如圖1，過點P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵PC平分∠DCB，∴PE=PF，在Rt△PAF和Rt△PEB中，∵PF=PE，PA=PB，∴Rt△PAF≌Rt△PEB，∴∠PAC=∠PBC；

（2）如圖2，過點P作PF⊥AC于F，∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分線，∴PE=PF，∠PCF=∠PCE，∵PC=PC，∴△PCF≌△PCE，∴CF=CE，由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，∴AF=BE，∵AF=AC+CF，BE=BC﹣CE，∴AC+CF=BC﹣CE，∴5+CF=11﹣CE，∴CE=CF=3，∵△PFC≌△PEC，∴S△PFC=S△PEC，∵Rt△PAF≌Rt△PEB，∴S△PAF=S△PEB，∴S△PCE：S△PBE=S△PFC：S△PFA=CF×PF： AC×PF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；

（3）如圖3，在BC上截取BQ=AM，在△PMA和△PQB中，∵PA=PB，∠PAM=∠PBQ，MA=BQ，∴△PMA≌△PQB，∴PM=PQ，∠MPA=QPB，∴∠APM+∠QPB=∠APN+∠MPA，即：∠APB=∠MPQ，∵∠MPN=∠APB，∴∠MPN=∠MPQ，∴∠MPN=∠QPN，在△MPN和△QPC中，∵PN=PN，∠MPN=∠QPN，MP=QP，∴△MPN≌△QPC，∴MN=QN，∴BM=AM+MN．