Question

如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線y=x²﹣4x+3經過點A、點B，與x軸交于點E、點F，且其頂點M在CD上．

（1）請直接寫出下列各點的坐標：A�。ǎ�　，B　（ ，  ）　，C　（ ， ）　，D�。� ， ）　；

（2）若點P是拋物線上一動點（點P不與點A、點B重合），過點P作y軸的平行線l與直線AB交于點G，與直線BD交于點H，如圖2．

①當線段PH=2GH時，求點P的坐標；

②當點P在直線BD下方時，點K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH面積的最大值．

Answer 1

解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．

 

（2）①設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經過D（0，﹣1），B（4，3），

∴，

解得，

∴直線BD的解析式為y=x﹣1．（5分）

設點P的坐標為（x，x²﹣4x+3），則點H（x，x﹣1），點G（x，3）．

1°當x≥1且x≠4時，點G在PH的延長線上，如圖①．

∵PH=2GH，

∴（x﹣1）﹣（x²﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x²﹣7x+12=0，

解得x₁=3，x₂=4．

當x₂=4時，點P，H，G重合于點B，舍去．

∴x=3．

∴此時點P的坐標為（3，0）．        

2°當0＜x＜1時，點G在PH的反向延長線上，如圖②，PH=2GH不成立．

3°當x＜0時，點G在線段PH上，如圖③．

∵PH=2GH，

∴（x²﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x²﹣3x﹣4=0，解得x₁=﹣1，x₂=4（舍去），

∴x=﹣1．此時點P的坐標為（﹣1，8）．

綜上所述可知，點P的坐標為（3，0）或（﹣1，8）．     

 

②如圖④，令x²﹣4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，

∴E（1，0），F（3，0），

∴EF=2．

∴S_△AEF=EF•OA=3．     

∵△KPH∽△AEF，

∴，

∴． 

∵1＜x＜4，

∴當時，s_△KPH的最大值為．

故答案為：（0，3），（4，3），（4，﹣1），（0，﹣1）．