Question

如圖，在平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=OB，另有兩點(diǎn)C（a，b）和D（b，-a）（a、b均大于0）；
（1）連接OD、CD，求證：∠ODC=45°；
（2）連接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度數(shù)；
（3）若a=b，在線段OA上有一點(diǎn)E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何綜合題

分析：（1）過(guò)C點(diǎn)、D點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，運(yùn)用勾股定理計(jì)算，結(jié)合全等可證；
（2）連接DA，證△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=2

2

，根據(jù)勾股定理逆定理可證∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°；
（3）作CF⊥OA，F(xiàn)為垂足，有CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，設(shè)EF=x，列出關(guān)于x的方程，求得x=

5

2

，再在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理求得CF=

5

2

3

，然后由三角形的面積公式即可求解．

解答：（1）證明：過(guò)C點(diǎn)、D點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M、N．
∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0），
∴OM=ON=a，CM=DN=b，
∴△OCM≌△ODN（SAS），
∴∠COM=∠DON．
∵∠DON+∠MOD=90°，
∴∠COM+∠MOD=90°，
∵OC=OD=

a2+b2

，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC=45°；

（2）解：連接DA．
在△OCB與△ODA中，

OB=OA ∠BOC=∠AOD=90°-∠COA OC=OD

，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA．
∵OC=OD=2，
∴CD=2

2

．
∵AD²+CD²=1+8=9，AC²=9，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；

（3）解：作CF⊥OA，F(xiàn)為垂足，由勾股定理得
CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，
設(shè)EF=x，可得5²-x²=7²-（3+x）²，
解得x=

5

2

．
在Rt△CEF中，得CF=

52-( 5 2 )2

=

5

2

3

，
∴OF=CF=

5

2

3

，
∴△OCA的面積=

1

2

•OA•CF=

1

2

×(

5

2

3

+

5

2

+3)×

5

2

3

=

75+55 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角形的面積，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．