Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O中作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？

（3）在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

 

Answer 1

 

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，⊙O與直線BC相切

（3）8

解析:解：（1）∵M(jìn)N∥BC， ∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x． 

∴．……………………………… 2分

（2）如圖2，作OD⊥BC于點(diǎn)D，當(dāng)OD =MN時(shí)，⊙O與直線BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ MN=．

過M點(diǎn)作ME⊥BC 于點(diǎn)E，

∵sinB=，∴．

∴．

∴，解得．

∴當(dāng)時(shí)，⊙O與直線BC相切．   ………………… 4分

（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，如圖3，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵ MN∥BC，

∴ ，即 AM=MB=4．

故分以下兩種情況討論：

① 當(dāng)0＜≤4時(shí)，．

∴ 當(dāng)=4時(shí)，．……………… 5分

② 當(dāng)4＜＜8時(shí)，如圖4，設(shè)PM、PN分別交BC于E、F．

∵ 四邊形AMPN是矩形，  ∴ PN∥AM，PN=AM=x．

又∵ MN∥BC， ∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN=BM=8－x．

∴ PF=PN–FN = x -(8 - x) = 2x -8．

又△PEF∽△ACB，∴ ．

∴ ．

∴ ＝．

∵ 二次項(xiàng)系數(shù)，且當(dāng)時(shí)，滿足4＜＜8，

∴  ．…………………………………………………………………………… 6分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，值最大，最大值是8．  …………………… 7分