Question

20．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．
（2）小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？請說明理由．
（3）如圖2，小紅作了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結AA′，BC′．小紅要使得平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段B′B的長）？

Answer 1

分析 （1）利用“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可，
（2）利用平行四邊形的判定和“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可，
（3）利用“等鄰邊四邊形”的定義和平移的性質（對應線段平行且相等），分四種情況（AA′=AB，AA′=A′C′，A′C′=BC′，BC′=AB）進行討論計算即可．

解答 （1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB
（2）解：小紅的結論正確．
理由如下：∵四邊形的對角線互相平分，
∴這個四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，
∴這個四邊形有一組鄰邊相等，
∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形，
（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=$\sqrt{5}$，
∵將Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，
∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=$\sqrt{5}$，

（I）如圖1，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2，

（II）如圖2，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=AC′=$\sqrt{5}$，

（III）當AC′=BC′=$\sqrt{5}$時，如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°
∴∠BB′D=∠ABB′=45°，
∴B′D=BD，
設B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′=$\sqrt{2}$x
∵根據在Rt△BC′D中，BC′²=C′D²+BD²即x²+（x+1）²=5
解得：x=1或x=-2（不合題意，舍去）
∴BB′=$\sqrt{2}x=\sqrt{2}$，

（IV）當BC′=AB=2時，如圖4，與（III）方法同理可得：x=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$或x=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$，
x=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$或x=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（舍去）
∴BB′=$\sqrt{2}$x=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$．
故應平移2或$\sqrt{5}$或$\sqrt{2}$或$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，利用“等鄰邊四邊形”的定義這個信息解決問題，涉及到了圖形的平移的性質，得出BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC，角的平分線的性質，由BB′平分∠ABC得到∠ABB′=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，勾股定理，解題的關鍵是理解“等鄰邊四邊形”的定義的前提下，結合已學知識會用它．