Question

如圖所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于O，∠ACD=60°，點(diǎn)S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點(diǎn)．
求證：△PQS是等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD與△OAB均為等邊三角形．連接CS，BP根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知△BCS與△BPC為直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)可知QS=BP=BC，由中位線(xiàn)定理可知，QS=QP=PS=BC，故△PQS是等邊三角形．
解答：證明：連CS，BP．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AC與BD相交于O，
∴可得出：△CAB≌△DBA，
∴∠CAB=∠DBA，
同理可得出：∠ACD=∠BDC，
∴AO=BO，CO=DO．
∵∠ACD=60°，
∴△OCD與△OAB均為等邊三角形．
∵S是OD的中點(diǎn)，
∴CS⊥DO．
在Rt△BSC中，Q為BC中點(diǎn)，SQ是斜邊BC的中線(xiàn)，
∴SQ=BC．
同理BP⊥AC．
在Rt△BPC中，PQ=BC．
又∵SP是△OAD的中位線(xiàn)，
∴SP=AD=BC．
∴SP=PQ=SQ．
故△SPQ為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形及直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理．