Question

設完全平方數A是11個連續(xù)整數的平方和，則A的最小值是

121

．

Answer 1

分析：設11個連續(xù)整數分別為：x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．根據題意得A=（x-5）²+（x-4）²+（x-3）²+（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²+（x+2）²+（x+3）²+（x+4）²+（x+5）²=11x²+2×（1+4+9+16+25）=11（x²+10），再根據A為完全平方數，則有x²+10=11n，n為完全平方數，即可得到當n=1時，A的值最�。�

解答：解：設11個連續(xù)整數分別為：x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．
∴A=（x-5）²+（x-4）²+（x-3）²+（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²+（x+2）²+（x+3）²+（x+4）²+（x+5）²，
=11x²+2×（1+4+9+16+25），
=11x²+110，
=11（x²+10），
∵A為完全平方數，
∴x²+10=11n，n為完全平方數，
∴當n=1時，A的值最�。�
此時A=11×11=121．
故答案為：121．

點評：本題考查了完全平方數的性質以及用代數式表示數的能力．