Question

已知拋物線y=開口向下，并且經過A(0，1)和M(2，－3)兩點．

(1)若拋物線的對稱軸為直線x=－1，求此拋物線的解析式．

(2)如果拋物線的對稱軸在y軸的左側，試求a的取值范圍．

(3)如果拋物線與x軸交于B、C兩點，且∠BAC=90°，求此時a的值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)因為拋物線y=經過A(0，1)和M(2，－3)兩點，且對稱軸為直線x=－1，于是，有 解這個方程組，得a=－，b=－1，c=1． 所以，拋物線解析式． (2)由題意得 消去c，得b=－2a－2． 又∵拋物線開口向下，對稱軸在y軸左側， ∴ ∴b＜0． ∴b=－2a－2＜0， ∴解得a＞－1． ∴a的取值范圍是－1＜a＜0． (3)由拋物線開口向下，且經過點A(0，1)知：它與x軸的兩個交點B、C分別在原點的兩旁，此時B、C兩點的橫坐標異號(如圖所示)，OA=c=1． 又∵∠BAC=90°，∴點A必在以BC為直徑的圓上． 又∵OA⊥BC于O，∴=OB·OC． ∵b=－2a－2，c=1，∴拋物線方程變?yōu)?/FONT>． 設此拋物線與x軸的兩個交點分別為B(，0)，C(，0)，則，是方程的兩根， ∴·=，∴OB·OC=||·||=|·|=－·，(·＜0)，∴OB·OC=－． 又∵=OB·OC=1，∴1=－，解得a=－1． 經檢驗，當a=－1時，所確定的拋物線符合題意，∴a的值為－1．