Question

已知點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點(diǎn)（M與點(diǎn)O，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．

（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段OD上時(shí)（如圖1），線段BM與DF有怎樣的數(shù)量及位置關(guān)系？請判斷并直接寫出結(jié)果；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段OD的延長線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由．

Answer 1

解：（1）BM=DF，BM⊥DF

理由是：∵四邊形ABCD、AMEF是正方形，

∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，

∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，

即∠FAD=∠MAB，

∵在△FAD和△MAB中

，

∴△FAD≌△MAB，

∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，

∵∠ADB=45°，

∴∠FDB=45°+45°=90°，

∴BM⊥DF，

即BM=DF，BM⊥DF．

（2）解：成立，

理由是：∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，

∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，

∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，

即∠FAD=∠MAB，

∵在△FAD和△MAB中

，

∴△FAD≌△MAB，

∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，

由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，

∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，

即BM⊥DF，

∴（1）中的結(jié)論仍成立．