Question

如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F．

（1）當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD；

（提示：過點F作FM∥BC交射線AB于點M．）

（2）當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②；當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關系，不需要證明；

（3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，則BE=　 　，CD=　 ．

 

Answer 1

（1）證明見解析

（2）（2）如圖②，CF+CD=BE，如圖3，CF﹣CD=BE；

（3）如圖②圖③，BE=8，CD=4或8．

【解析】

試題分析：（1）通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD；

（2）作FM∥BC，得到四邊形BCFM是平行四邊形，再通過證得△MEF≌△CDA即可求得，

（3）由△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖②CD=4圖3CD=8，

試題解析：（1）如圖①，過點F作FM∥BC交射線AB于點M，

∵CF∥AB，

∴四邊形BMFC是平行四邊形，

∴BC=MF，CF=BM，

∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，

∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，

∵∠ADN=60°，

∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，

∴∠BDE=∠DAC，

∴∠MFE=∠DAC，

∴△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB+BM，

∴CD=BE+CF．

（2）如圖②，CF+CD=BE，如圖3，CF﹣CD=BE；

（3）如圖②圖③，BE=8，CD=4或8．

考點：1、全等三角形的判定與性質；2、等邊三角形的性質；3、平行四邊形的判定和性質；4、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等．