Question

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；
（2）記S=S_△OEF-S_△ECF，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？
（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別用點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示出△AOE與△FOB的面積，進(jìn)行比較；
（2）應(yīng)分別用矩形面積和能用圖中的點(diǎn)表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可；
（3）點(diǎn)F的橫坐標(biāo)已有，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，利用折疊以及相似求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)．
解答：（1）證明：設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，
由題意得y₁=，y₂=，
∴S₁=x₁y₁=k，S₂=x₂y₂=k，
∴S₁=S₂，
即△AOE與△FOB的面積相等；

（2）解：由題意知E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E（，3），F(xiàn)（4，），
∴S_△ECF=EC•CF=（4-k）（3-k），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF
=12-k-k-S_△ECF
=12-k-S_△ECF
∴S=S_△OEF-S_△ECF=12-k-2S_△ECF=12-k-2×（4-k）（3-k）．
∴S=-k²+k，即S=-（k-6）²+3，
當(dāng)k=6時(shí)，S有最大值．
S_最大值=3；

（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的M點(diǎn)，
過點(diǎn)E作EN⊥OB，垂足為N．
由題意得：EN=AO=3，EM=EC=4-k，MF=CF=3-k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴，
∴，
∴MB=．
∵M(jìn)B²+BF²=MF²，
∴，解得k=．
∴BF=．
∴存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為（4，）．
點(diǎn)評：此題綜合性比較強(qiáng)，把反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖形的面積計(jì)算，二次函數(shù)最值的計(jì)算放在矩形的背景中，綜合利用這些知識(shí)解決問題．在求坐標(biāo)系內(nèi)一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．