Question

如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°．
求證：（1）EF=BE+DF；
（2）．

Answer 1

證明：（1）延長CB到G，使GB=DF，連接AG（如圖）
∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF，
∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE=EF，
∴DF+BE=EF；

（2）∵△AEF≌△AGE，
∴S_△AEF=S_△AGE，
∴，
又S_ABCD=AB²，
∴．
分析：延長CB到G，使GB=DF，連接AG，求證△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF，進(jìn)而求證△AGE≌△AFE，可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF，分別計算正方形ABCD和△AEF的面積，即可得，即可解題．
點(diǎn)評：本題考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證S_△AEF=S_△AGE是解題的關(guān)鍵．