Question

如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為9cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以

2

cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）：
（1）當(dāng)點(diǎn)F是AB的三等分點(diǎn)時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在AB邊上時(shí)，連結(jié)FN、FM：
①是否存在t值，使FN=MN？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②是否存在t值，使FN=FM？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)AB∥CD，得到△AFE∽△CDE，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F是邊AB三等分點(diǎn)時(shí)，則AF=3或AF=6，分AF=3時(shí)和AF=6時(shí)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出方程求得AE的長(zhǎng)，從而求得t值；
（2）設(shè)CM=t，F(xiàn)在邊AB上時(shí)，用t表示線段AF、ND、AN，然后分FN=MN時(shí)和FN=FM時(shí)兩種情況利用等腰三角形的性質(zhì)求得t值即可．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
當(dāng)點(diǎn)F是邊AB三等分點(diǎn)時(shí)，則AF=3或AF=6，
（i）AF=3時(shí)，∵

AF

CD

=

AE

EC

，
∴

3

9

=

AE

9 2 -AE

，
∴AE=

9 2

4

，
∴t=

9

4

（ii）同理，AF=6，AE=

18 2

5

，
∴t=

18

5

．

（2）設(shè)CM=t，F(xiàn)在邊AB上時(shí)，用t表示線段AF、ND、AN：
由△AFE∽△CDE，
∴

AE

9

=

2 t

9 2 - 2 t

，
得AF=

9t

9-t

．
又∵△MND∽△DFA，
∴

ND

AF

=

MD

AD

，解得ND=t．
∴AN=DM=9-t，
①當(dāng)FN=MN時(shí)，則由AN=DM，
∴△FAN≌△NDM，
∴AF=ND，即

9t

9-t

=t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
②當(dāng)FN=FM時(shí)，由MN⊥DF，等腰三角形三線合一，得HN=HM=HD，
∴△NDM是等腰Rt△，DN=DM=MC，
∴M為中點(diǎn)，
∴t=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識(shí)點(diǎn)．解題要點(diǎn)是：（1）明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程；（2）明確運(yùn)動(dòng)過程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解．