Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，連接AC、BD．在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊三角形BCE，連接AE．
（1）求證：BD=AE；
（2）若AB=2，BC=3，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等邊三角形，又由△BCE是等邊三角形，可證得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；
（2）由△BCE是等邊三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的長(zhǎng)，即可求得BD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴DC=AC，∠DCA=60°；
又∵△BCE是等邊三角形，
∴CB=CE，∠BCE=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，
即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△EAC中，

DC=AC ∠DCB=∠ACE CB=CE

，
∴△BDC≌△EAC（SAS），
∴BD=AE；

（2）解：∵△BCE是等邊三角形，
∴BE=BC=3，∠CBE=60°．
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

22+32

=

13

，
∴BD=AE=

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．