Question

（2012•阜新）（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；
②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
（2）當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

Answer 1

分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；
②BD=CE，BD⊥CE．根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H）BH構(gòu)建對(duì)頂角∠ABF=∠HCF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠BHC=90°；
（2）根據(jù)結(jié)論①、②的證明過程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時(shí)，該結(jié)論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適．

解答：解：（1）①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE；
②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE…1分
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分
在△ABD與△ACE中，
∵

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE…1分
延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H．
在△ABF與△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE…3分

（2）結(jié)論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作為判定三角形全等的定理． 注意：在全等的判定中，沒有AAA（角角角）和SSA（邊邊角）（特例：直角三角形為HL，因?yàn)楣垂啥ɡ�，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS），因?yàn)檫@兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線（或高、角平分線）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也全等．