Question

如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，P為弧BC上一點(diǎn)，PA交BC于D，已知PB=3，PC=6，則PD=

2

．

Answer 1

分析：在PA上截取PE=PB，連接BE，則有△BEP是等邊三角形，由SAS證得△ABE≌△CBP，則AE=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC，即可求出AP的值，再證明△ABD∽△APB，得到BD和AB的數(shù)量關(guān)系，再證明△BPD∽△APC，即可求出PD的值．

解答：解：在PA上截取PE=PB，連接BE；
∵△ABC是等邊三角形，∠ACB=APB，
∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；
∴△BEP是等邊三角形，BE=PE=PB；
∴∠ACB-∠EBC=APB-∠EBC=60°-∠EBC；
∴∠ABE=∠CBP；
∵在△ABE與CBP中，

∠ABE=∠CBP ∠BAE=∠BCP BE=BP

，
∴△ABE≌△CBP；
∴AE=CP；
∴AP=AE+PE=PB+PC．
∵PB=3，PC=6，
∴PA=6+3=9，
∵∠BAP=∠DAB（公共角），
∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，
∴△ABD∽△APD，
∴

AB

AP

=

BD

BP

，
∴

AB

9

=

BD

3

，
∴BD=

1

3

AB=

1

3

AC，
∵∠PBD=∠PAC，
∠BPD=∠APC=60°，
∴△BPD∽△APC，
∴

BP

AC

=

PD

PC

，
∴

1 3 AC

AC

=

PD

6

，
∴PD=6×

1

3

=2．
故答案為2．

點(diǎn)評：本題通過構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、求出某些線段的長度，再利用相似的判定定理和性質(zhì)定理去求出未知線段的長度，綜合性很強(qiáng)．