Question

8．如圖，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，點(diǎn)H是BF的中點(diǎn)，連接HA、HG．
（1）若三點(diǎn)B、D、F在同一直線上，探索HA，HG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給予證明．
（2）若三點(diǎn)B，D，F(xiàn)不在同一直線上，如圖②，其他條件不變，那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AH=GH，AH⊥GH，因?yàn)辄c(diǎn)H是中點(diǎn)，所以想到倍長(zhǎng)中線的方法添加輔助線（如圖1），接下來(lái)只要證明①AH=HM②AG=GM即可．
（2）形變結(jié)論不變，證明方法類似（1）．

解答 解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AH，F(xiàn)E交于點(diǎn)M，連接GM，AG，
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠GDF=∠ABD=∠DFE=45°，
∴∠ADG=90°，
在△ABH與△HMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠MHF}\\{BH=FH}\\{∠ABH=∠HFM}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△HMF，
∴AB=MF，AH=HM，
∴AD=MF，
在△AGD與△GMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=MF}\\{∠ADG=∠GFM=90°}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠FGM，
∵∠FGM+∠DGM=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°，
∴∠AGM=90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AH=HG，GH⊥AM；
（2）結(jié)論仍然成立，AH=GH，AH⊥GH，
理由：如圖2，延長(zhǎng)AH到M使HM=AH，連接AG，F(xiàn)M，GM，F(xiàn)M交DE于K，
在△ABH與△HMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=HM}\\{∠AHB=∠FHM}\\{BH=FH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△HMF，
∴AB=MF，AH=HM，∠ABH=∠HFM，
∴AD=MF，AB∥FM，
∴FM∥CD，
∴∠MKD+∠CDE=180°，
∵∠ADG+∠CDE=180°，
∴∠DKM=∠ADG，
∵GF∥DE，
∴∠GFM=∠DKM，
∴∠ADG=∠GFM，
在△AGD與△GMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=MF}\\{∠ADG=∠GFM}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠FGM，
∵∠FGM+∠DGM=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°，
∴∠AGM=90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AH=HG，GH⊥AM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．