Question

探索與研究：
小明和小紅周日在家研究正方體問題，下面是兩人研究問題的分工情況：
小紅：將一個正方體的表面涂上紅色，再將每條棱長三等分，沿三等分點(diǎn)將正方體切開成若干個大小相同的小正方體，然后觀察每個小正方體的表面涂上紅色的情況，請你幫她填寫結(jié)果：沒涂色的小正方體有

 

個，一面涂色的小正方體有

 

個，二面涂色的小正方體有

 

個，三面涂色的小正方體有

 

個．
小明：將一個正方體的表面涂上紅色，再將每條棱長四等分，沿四等分點(diǎn)將正方體切開成若干個大小相同的小正方體，然后觀察每個小正方體的表面涂上紅色的情況，請你幫他填寫結(jié)果：沒涂色的小正方體有

 

個，一面涂色的小正方體有

 

個，二面涂色的小正方體有

 

個，三面涂色的小正方體有

 

個．兩人根據(jù)結(jié)果提出了大膽的猜想：如果將棱長三等分、四等分引申為將棱長N等分，以上每種情況又會怎樣呢？請你給予解答：

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類,認(rèn)識立體圖形

專題：

分析：根據(jù)正方體的性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)處的小方塊三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小方塊兩面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，處于正中心的沒涂色．依此可得到（1）棱三等分時的所得小正方體表面涂色情況；（2）棱四等分時的所得小正方體表面涂色情況；由此得出棱n等分時的所得小正方體表面涂色情況．

解答：解：將每條棱長三等分：
沒涂色的小正方體有1個，一面涂色的小正方體有1×6=6個，二面涂色的小正方體有1×12=12個，三面涂色的小正方體有8個．
將每條棱長四等分：
沒涂色的小正方體有2×2×2=8個，一面涂色的小正方體有2×2×6=24個，二面涂色的小正方體有2×12=24個，三面涂色的小正方體有8個．
…
將每條棱長n等分：
沒涂色的小正方體有（n-2）×（n-2）×（n-2）=（n-2）³個，一面涂色的小正方體有（n-2）×（n-2）×6=6（n-2）²個，二面涂色的小正方體有12（n-2）個，三面涂色的小正方體有8個．
故答案為：1，6，12，8；8，24，24，8．

點(diǎn)評：此題主要考查了立體圖形的認(rèn)識和用特殊歸納一般規(guī)律的方法．關(guān)鍵是通過正方體的特點(diǎn)來得到有關(guān)涂色情況的規(guī)律．