Question

2．已知：a、b、c為正實數，且a+b+c=1．
（1）比較大�。篴²＜a；
（2）試判斷$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$與4的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據a、b、c為正實數，且a+b+c=1，可以得到a、b、c的取值范圍，因為正的真分數的平方小于它本身，本題得以解決；
（2）首先判斷$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$與4的大小關系，然后對所求的式子進行變形，即可證得結論成立．

解答 解：（1）∵a、b、c為正實數，且a+b+c=1，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，
∴a²＜a，
故答案為：＜；
（2）$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞4，
理由：方法一：∵$（\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}）^{2}$
=3a+1+3b+1+2$\sqrt{（3a+1）（3b+1）}$
=3（a+b）+2$\sqrt{9ab+3（a+b）+1}$+2
＞[3（a+b）+1]+2$\sqrt{3（a+b）+1}+1$
=$（\sqrt{3（a+b）+1}+1）^{2}$
∴$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}＞\sqrt{3（a+b）+1}+1$，
同理可證，$\sqrt{3（a+b）+1}+\sqrt{3c+1}$＞$\sqrt{3（a+b+c）+1}+1$，
∴$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞$\sqrt{3（a+b）+1}+1+\sqrt{3c+1}$＞$\sqrt{3（a+b+c）+1}+1+1$，
∵a+b+c=1，
∴$\sqrt{3（a+b+c）+1}+1+1$=$\sqrt{3+1}+1+1=\sqrt{4}+1+1=2+1+1=4$，
即$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞4．
方法二：由（1）知a²＜a，則b²＜b，c²＜c，
∴$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$=$\sqrt{a+2a+1}+\sqrt{b+2b+1}+\sqrt{c+2c+1}$＞$\sqrt{{a}^{2}+2a+1}+\sqrt{^{2}+2b+1}+\sqrt{{c}^{2}+2c+1}$=a+1+b+1+c+1=a+b+c+3，
∵a+b+c=1，
∴a+b+c+3=4，
即$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞4．

點評 本題考查二次根式的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，需要注意的是其中不等號的應用．