Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ＝x，QR＝y．

（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)△RQC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求解DH；

（2）根據(jù)三角形的相似比求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）畫出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行討論：

① 當(dāng)PQ=PR時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC==，∴，即可求出x的值；

② 當(dāng)PQ=RQ時(shí)，-x+6=，x=6；

③當(dāng)PR=QR時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，故CR=CE=AC=2．

試題解析：（1），AB=6，AC=8，．

點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，．

，．

，，

∴,

（2），，

，，

即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①如圖（1），當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于M，則．

，，．

，，

，

．

②如圖（2），當(dāng)時(shí)，

，

．

③如圖（3），當(dāng)時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，

．

，

，

．

綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形．