Question

4．如圖，已知等邊△ABC，AE=BD，CE，AD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG∥CE，BG交AD的延長線于點(diǎn)G，求證：BG+DF=CE．

Answer 1

分析 先證△ABD≌△CAE得CE=AD、∠AEC=∠ADB，進(jìn)而有∠BDG=∠AEH，再證△GBD≌△HAE得BG=AH、∠H=∠G，由BG∥CE知∠G=∠CFG=∠AFH=∠H，從而得出AH=AF=BG，即可得證．

解答 證明：如圖，作∠HAE=∠GBD，交CE延長線與點(diǎn)H，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABD=∠CAE=60°，
在△ABD和△CAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴CE=AD，∠AEC=∠ADB，
∵∠BDG=180°-∠ADB，∠AEH=180°-∠AEC，
∴∠BDG=∠AEH，
在△GBD和△HAE中，
∵∴$\left\{\begin{array}{l}{∠GBD=∠HAE}\\{BD=AE}\\{∠BDG=∠AEH}\end{array}\right.$，
∴△GBD≌△HAE（ASA），
∴BG=AH，∠H=∠G，
∵BG∥CE，
∴∠G=∠CFG=∠AFH=∠H，
∴AH=AF=BG，
故CE=AD=AF+DF=BG+DF，
即CE=BG+DF．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線將待證的線段用全等三角形聯(lián)系到一起是關(guān)鍵．