Question

觀察下面的變形規(guī)律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…

1

2013×2014

=

1

2013

-

1

2014

…
解答下面的問(wèn)題：
（1）試求

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

；
（2）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）請(qǐng)你根據(jù)變形規(guī)律進(jìn)行適當(dāng)變形，求

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2013×2015

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)上述等式得出拆項(xiàng)規(guī)律，將原式變形計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；
（3）利用得出的規(guī)律將原式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；
（2）歸納總結(jié)得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）根據(jù)題意得：原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2013

-

1

2015

）=

1

2

（1-

1

2015

）=

1007

2015

．
故答案為：（2）

1

n

-

1

n+1

；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．