Question

如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點O，點P，D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）小明冥思苦想許久而不得解，只好去問老師．老師給他分析了如下的思路．

根據上述思路，小明終于會證明了．請你完整地書寫本題的證明過程．
（2）證明完后，老師又提出了如下問題讓小明解答：若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

Answer 1

（1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED，根據AAS證出兩三角形全等即可．
（2）求出∠A=∠C=45°，∠ABP=∠3=∠4，根據AAS證出△ABP≌△CPD即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．