Question

如圖，已知點(diǎn)A（-3，0）和B（1，0），直線y=kx-4經(jīng)過點(diǎn)A并且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（3）半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的動(dòng)圓⊙P的圓心P始終在拋物線的對(duì)稱軸上．當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為5時(shí)，將⊙P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在拋物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)．那么，經(jīng)過幾秒，⊙P與直線AC開始有公共點(diǎn)？經(jīng)過幾秒后，⊙P與直線AC不再有公共點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）直線AC的解析式中，令x=0，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式，進(jìn)而可用公式法或配方法求出拋物線的對(duì)稱軸方程．
（3）設(shè)當(dāng)直線與圓開始有交點(diǎn)時(shí)，此圓為⊙P₁，直線與與圓開始沒有交點(diǎn)時(shí)，圓為⊙P₂，那么欲求時(shí)間就必須求出PP₁、PP₂的值，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N；易求得直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可得MN的長(zhǎng)，設(shè)⊙P₁、⊙P₂與直線AC的切點(diǎn)分別為D、E，易證得△NDP₁∽△COA，根據(jù)相似三角形的比例線段即可求得P₁N的值，從而由P₁M=MN-NP₁求得點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，同理可求得點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，已知了P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得PP₁、PP₂的長(zhǎng)，由此得解．

解答：解：（1）令x=0，y=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）．

（2）設(shè)過A（-3，0），B（1，0），C（0，-4）的函數(shù)解析式為：y=a（x+3）（x-1），
則有：a（0+3）（0-1）=-4，
即a=

4

3

，
∴拋物線的解析式為：y=

4

3

（x+3）（x-1）=

4

3

x²+

8

3

x-4，
對(duì)稱軸為x=-

-3+1

2

，即x=-1．

（3）在Rt△MOC中，OA=3，OC=4，
∴CA=

OA2+OC2

=

32+42

=5，
當(dāng)⊙P向上移動(dòng)時(shí)，永遠(yuǎn)不會(huì)與直線AC由公共點(diǎn)；
當(dāng)⊙P向下移動(dòng)時(shí)，設(shè)⊙P與直線AC有一個(gè)公共點(diǎn)的位置如圖中的⊙P₁和⊙P₂；
⊙P₁與直線AC相切于點(diǎn)D，⊙P₂與直線AC相切于點(diǎn)E，連接P₁D；
則∠NDP₁=90°，又∵M(jìn)N∥OC，∴∠DNP₁=∠ACO；
又∵∠NDP₁=∠COA=90°，∴△NDP₁∽△COA，
∴

NP1

CA

=

P1D

OA

，

NP1

5

=

1

3

，NP₁=

5

3

；
同理NP₂=

5

3

，把A（-3，0）代入y=kx-4中，-3k-4=0得k=-

4

3

；
∴直線y=-

4

3

x-4，把x=-1代入上式，得y=-

8

3

；
∴MN=|-

8

3

|=

8

3

，
∴MP₁=MN-NP₁=

8

3

-

5

3

=1，
∴PP₁=PM+MP₁=5+1=6；
PP₂=PP₁+2NP₁=6+2×

5

3

=9

1

3

，t_P→P1=6÷1=6（秒），t_P→P2=9

1

3

÷1=9

1

3

（秒）；
綜上所述，經(jīng)過6秒⊙P與直線AC開始有公共點(diǎn)，經(jīng)過9

1

3

秒后，⊙P與直線AC不再有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)解析式的確定、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．