Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若存在過點P的直線l交⊙C于異于點P的A，B兩點，在P，A，B三點中，位于中間的點恰為以另外兩點為端點的線段的中點時，則稱點P為⊙C 的相鄰點，直線l為⊙C關于點P的相鄰線．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①分別判斷在點D（， ），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相鄰點有　 ；

②請從①中的答案中，任選一個相鄰點，在圖1中做出⊙O關于它的一條相鄰線，并說明你的作圖過程；

③點P與點O的距離d滿足范圍___________________時，點P是⊙O的相鄰點；

④點P在直線y=﹣x+3上，若點P為⊙O的相鄰點，求點P橫坐標x的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點M，N，若線段MN上存在⊙C的相鄰點P，直接寫出圓心C的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D、E ② 證明見解析；③ 0≤d≤3且d≠1 ④0≤x≤3；(2) 0≤x≤9

【解析】試題分析：（1）由相鄰點的定義可知：在圓C內的點必為相鄰點，在圓C外的點必須滿足，2AB2=PC2-1，其中A為PB的中點，且AB≤2，所以若半徑為1的圓C有相鄰點P，則PC的長必須滿足0≤PC≤3且PC≠1，分別求出D、E、F到⊙O的距離即可判斷．求出直線y=-x+3與坐標軸的交點坐標分別為（0，3）和（3，0），根據(jù)（1）問中結論可知，P的橫坐標的取值范圍是：0≤x≤3；

（2）根據(jù)（1）問中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因為點P在線段MN上移動，所以點C在以點P為圓心，半徑為3的圓內，且不能在以點P為圓心，半徑為1的圓上，再根據(jù)點C在x軸上，即可得出C的橫坐標取值范圍．

試題解析：（1）由定義可知，

當點P在⊙C內時，

由垂徑定理可知，點P必為⊙C的相鄰點，

此時，0≤PC＜1；

當點P在⊙C外時，設點A是PB的中點，連接PC交⊙C于點M，延長PC交⊙C于點N，連接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°，

∠B+∠NMA=180°，

∴∠AMP=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP，

∴，

∴PAPB=PMPN，

∵點A是PB的中點，

∴AB=PA，

又∵⊙C的半徑為1，

∴2AB2=（PC-CM）（PC+CN），

∴2AB2=PC2-1，

又∵AB是⊙C的弦，

∴AB≤2，

∴2AB2≤8，

∴PC2-1≤8，

∴PC2≤9，

∴PC≤3，

∵點P在⊙C外，

∴PC＞1，

∴1＜PC≤3，

當點P在⊙C上時，

此時PC=1，但不符合題意，

綜上所述，半徑為1的⊙C，當點P與圓心C的距離滿足：0≤PC≤3，且PC≠1時，點P為⊙C的相鄰點；

①∵D（， ），

∴DO=，

∵E（0，-），

∴OE=，

∵F（4，0），

∴OF=4，

∴D和E是⊙O的相鄰點；

②連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于A、B兩點；

③令x=0代入y=-x+3，

∴y=3，

令y=0代入y=-x+3，

∴x=3，

∴y=-x+3與坐標軸的交點為（0，3）和（3，0）

∵由于點P在直線y=-x+3上，且點P是⊙O的相鄰點，

∴0≤PO≤3，且PO≠1

又∵點P在⊙O外，

∴1＜PO≤3，

∴p的橫坐標范圍為：0≤x≤3；

（2）令x=0代入y=-x+2，

∴y=2，

∴N（0，2），

令y=0代入y=-x+2，

∴x=6，

∴M（6，0），

∵點P是半徑為1的⊙C的相鄰點，

∴0≤PC≤3且PC≠1，

∴點C在以點P為圓心，半徑為3的圓內，且不能在以點P為圓心，半徑為1的圓上，

∵點C在x軸上，

∴點C的橫坐標范圍的取值范圍：0≤x≤9．