Question

如圖，△ABC的邊BC在直線l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2

2

cm．點P從點B出發(fā)沿BC方向以1cm/s速度向點C運動，當點P到點C時，停止運動．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于點Q，以PQ為一邊向右側(cè)作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS與△ABC的重疊部分的面積為S（cm²），點P的運動時間為t（s）．回答下列問題：

（1）AD=

 

cm；
（2）當點R在邊AC上時，求t的值；
（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=2

2

cm，即可得出AD的長；
（2）根據(jù)QR∥BC，可證明△AQR∽△ABC，從而得出

QR

BC

=

AE

AD

，即

2t

6

=

2-t

2

，解得t即可；
（3）分三段進行討論：
①當0＜t≤

6

5

時（圖1），根據(jù)∠B=45°，∠BPQ=90°，即可得出∠BQP=45°，則PQ=BP=t，從而得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當

6

5

＜t＜2時（圖2），根據(jù)∠BAD=45°，則BD=AD=2cm，從而得出CD，即可證明△FSC∽△ADC，得比例式

SF

AD

=

SC

DC

，則SF=3-

3

2

t，再求得FR，由ER∥SC，得∠REF=∠C，即可證明△ERF∽△CDA，則

ER

DC

=

RF

AD

，ER=5t-6，從而得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
③當2≤t＜6時（圖3），根據(jù)PQ∥AD，得△ERF∽△CDA，則

QP

AD

=

PC

CD

，即

QP

2

=

6-t

4

，得出QP=3-

1

2

t，從而得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∵AB=2

2

cm，
∴AD=2cm，
（2）∵QR∥BC，
∴△AQR∽△ABC，
∴

QR

BC

=

AE

AD

，即

2t

6

=

2-t

2

，
解得，t=

6

5

；
（3）①當0＜t≤

6

5

時（圖1），∠B=45°，∠BPQ=90°，
∴∠BQP=90°-45°=45°
∴PQ=BP=t
∴S=S_矩形PQRS=2t•t=2t²．
②當

6

5

＜t＜2時（圖2）∠BAD=90°-45°=45°
BD=AD=2cm
CD=6-2=4cm．
SF∥AD
∴△FSC∽△ADC
∴

SF

AD

=

SC

DC

，即

SF

2

=

6-3t

4

，
SF=3-

3

2

t，
∴FR=t-（3-

3

2

t）=

5t

2

-3，
∵ER∥SC，
∴∠REF=∠C
又∠REF=∠ADC=90°
∴△ERF∽△CDA
∴

ER

DC

=

RF

AD

，
即

ER

4

=

5t 2 -3

2

，
ER=5t-6，
∴S=S_矩形PQRS-S_△ERF=2t²-

1

2

（5t-6）（

5

2

t-3）
=-

17

4

t²+15t-9．
③當2≤t＜6時（圖3）
∵PQ∥AD
∴△ERF∽△CDA，
∴

QP

AD

=

PC

CD

，
即

QP

2

=

6-t

4

，
∴QP=3-

1

2

t
∴S=S_△QPC=

1

2

（3-

1

2

t）（6-t）
=

1

4

t²-3t+9．

點評：本題考查了相似形的綜合運用，以及勾股定理、函數(shù)的有關(guān)知識，解決這類綜合性的題目，主要是掌握各知識點間的相互聯(lián)系和分類討論思想的運用．