Question

在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過矩形頂點B、C．
（1）當n=1時，如果a=-1，試求b的值；
（2）當n=2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；
（3）將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使得點B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經過原點O．
①試求當n=3時a的值；
②直接寫出a關于n的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知得到拋物線對稱軸為直線x=，代入即可求出b；
（2）設所求拋物線解析式為y=ax²+bx+1，由對稱性可知拋物線經過點B（2，1）和點M（，2），把B、M的坐標代入得到方程組，求出a、b的值即可得到拋物線解析式；
（3）①當n=3時，OC=1，BC=3，設所求拋物線解析式為y=ax²+bx，過C作CD⊥OB于點D，則Rt△OCD∽Rt△OBC，得出，設OD=t，則CD=3t，根據勾股定理OD²+CD²=OC²，求出t，得出C的坐標，把B、C坐標代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可；
②根據（1）、（2）①總結得到答案．
解答：解：（1）∵拋物線過矩形頂點B、C，其中C（0，1），B（n，1）
∴當n=1時，拋物線對稱軸為直線x=，
∴，
∵a=-1，
∴b=1，
答：b的值是1．

（2）設所求拋物線解析式為y=ax²+bx+1，
由對稱性可知拋物線經過點B（2，1）和點M（，2），
則，
解得
∴所求拋物線解析式為，
答：此時拋物線的解析式是．

（3）①當n=3時，OC=1，BC=3，
設所求拋物線解析式為y=ax²+bx，
過C作CD⊥OB于點D，

則Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴，
設OD=t，則CD=3t，
∵OD²+CD²=OC²，
∴（3t）²+t²=1²，
∴，
∴C（，），
又∵B（，0），
∴把B、C坐標代入拋物線解析式，得，
解得：a=，
答：a的值是-．

②答：a關于n的關系式是．
點評：本題主要考查相似三角形的性質和判定，正方形的性質，用待定系數法求二次函數的解析式，解二元一次方程組，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好綜合性強．