14.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABD=∠BAD=15°,求證:AC=DC.

分析 首先構(gòu)造△ACD′,D′在△ABC內(nèi)部,使得AD′=CD′,∠D′AC=∠D′CA=15°,連DD′,證明△ABD≌△ACD′,得到AD=AD′,進一步證明△ADD′是等邊三角形,得到DD′=AD′,再證明△ACD'≌△DCD',即可得到AC=DC.

解答 解:如圖,構(gòu)造△ACD′,D′在△ABC內(nèi)部,使得AD′=CD′,∠D′AC=∠D′CA=15°,連DD′,

∵∠ABD=∠BAD=15°,
∴∠ABD=∠BAD=∠D′AC=∠D′CA,
在△ABD和△ACD′中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′AC=∠BAD}\\{AB=AC}\\{∠ACD′=∠ABD}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACD′,
∴AD=AD′,
∵∠DAD′=∠BAC-∠BAD′-∠CAD=90°-15°-15°=60°,
∴△ADD′是等邊三角形,
∴DD′=AD′,
∵∠CD′A=180-∠CAD′-∠ACD′=180°-15°-15°=150°,
∴∠CDD′=360°-∠CD′A-∠AD′D=360°-150°-60°=150°,
∴∠CD′A=∠CDD′,
在△ACD′和△DCD′中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD′=DD′}\\{∠AD′C=∠DD′C}\\{CD′=CD′}\end{array}\right.$,
∴△ACD'≌△DCD'
∴AC=DC.

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理,解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形.

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其中結(jié)論正確的有( 。
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