Question

14．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABD=∠BAD=15°，求證：AC=DC．

Answer 1

分析 首先構(gòu)造△ACD′，D′在△ABC內(nèi)部，使得AD′=CD′，∠D′AC=∠D′CA=15°，連DD′，證明△ABD≌△ACD′，得到AD=AD′，進(jìn)一步證明△ADD′是等邊三角形，得到DD′=AD′，再證明△ACD'≌△DCD'，即可得到AC=DC．

解答 解：如圖，構(gòu)造△ACD′，D′在△ABC內(nèi)部，使得AD′=CD′，∠D′AC=∠D′CA=15°，連DD′，

∵∠ABD=∠BAD=15°，
∴∠ABD=∠BAD=∠D′AC=∠D′CA，
在△ABD和△ACD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′AC=∠BAD}\\{AB=AC}\\{∠ACD′=∠ABD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD′，
∴AD=AD′，
∵∠DAD′=∠BAC-∠BAD′-∠CAD=90°-15°-15°=60°，
∴△ADD′是等邊三角形，
∴DD′=AD′，
∵∠CD′A=180-∠CAD′-∠ACD′=180°-15°-15°=150°，
∴∠CDD′=360°-∠CD′A-∠AD′D=360°-150°-60°=150°，
∴∠CD′A=∠CDD′，
在△ACD′和△DCD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD′=DD′}\\{∠AD′C=∠DD′C}\\{CD′=CD′}\end{array}\right.$，
∴△ACD'≌△DCD'
∴AC=DC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．