Question

已知關于x的方程x²-（k-1）x+k+1=0的兩個實數(shù)根的平方和等于4，實數(shù)k的值．

Answer 1

解：∵方程x²-（k-1）x+k+1=0有兩個實數(shù)根，
∴b²-4ac=（k-1）²-4（k+1）=k²-6k-3≥0，
可設方程的兩個根分別為x₁，x₂，
則有x₁+x₂=-=k-1，x₁x₂==k+1，
又兩個實數(shù)根的平方和等于4，即x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=x₁²+x₂²=4，即（k-1）²-2（k+1）=4，
整理得：k²-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，
解得：k=5或k=-1，
當k=5時，k²-6k-3=-8＜0，不合題意，舍去，
當k=-1時，k²-6k-3=4＞0，符合題意，
則實數(shù)k的值為-1．
分析：由方程有兩個實數(shù)根，可得根的判別式大于等于0，列出關于k的不等式，然后設出方程的兩個根分別為x₁，x₂，用根與系數(shù)的關系表示出兩根之和與兩根之積，根據(jù)兩根的平方和等于4及完全平方公式列出關于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入關于k的不等式中檢驗，可得出滿足題意的k的值．
點評：此題考查了根與系數(shù)的關系，完全平方公式的運用，以及根的判別式與方程解的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有解，即b²-4ac≥0時，設方程的兩個根分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-，x₁x₂=，熟練掌握此關系是解本題的關鍵．