Question

12．如圖所示，將一邊長為3的正方形放置到平面直角坐標系中，其頂點A、B均落在坐標軸上，一拋物線過點A、B，且頂點為P（1，4）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線上一點，恰使△MOA≌△MOB，求點M的坐標；
（3）y軸上是否存在一點N，恰好使得△PNB為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的所有點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可知OA=OB=3，從而得到點A的坐標，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，把A（0，3）代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）由全等三角形對應(yīng)邊相等可知MA=BM，從而可知點M在AB的垂直平分線上，故此點M為直線OC與拋物線的交點，然后求得直線OC與拋物線的交點坐標即可；
（3）設(shè)N（0，t）．分為∠PNB=90、∠NPB=90°、∠PBN=90°三種情況畫出圖形，然后依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于t的方程求解即可．

解答 解：（1）∵正方形的邊長為3，
∴A（0，3），B（3，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4．
∵把A（0，3）代入得：a+4=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．
（2）如圖1所示：

∵△MOA≌△MOB，
∴AM=BM．
∴點M在AB的垂直平分線上．
∵OACB為正方形，
∴OC為AB的垂直平分線．
設(shè)OC的解析式為y=kx，
∵將C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，
∴直線OC的解析式為y=x．
由y=x與y=-x²+2x+3得：x=-x²+2x+3，解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$．
∴M（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），M′（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
∴點M的坐標為（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
（3）設(shè)N（0，t）．
①當∠PNB=90時，如圖2所示．連接PN、BN，過點P作PM⊥y軸，垂足為M．

由△PMN∽△NOB，得：$\frac{1}{t}=\frac{4-t}{3}$，解得：t₁=1，t₂=3．
②當∠NPB=90°時．
如圖3所示；連接PN、BN，過點P作x軸的平行線，交BC延長線與點M．

由△PMN∽△NOB，得：$\frac{1}{4}=\frac{4-t}{2}$，解得：t=$\frac{7}{2}$．
③當∠PBN=90°時，如圖4所示，過點P作x軸的平行線，交BC延長線與點M．

由△PMB∽△NOB得：$\frac{2}{-t}=\frac{4}{3}$，解得：t=-$\frac{3}{2}$．
綜上所述，點N的坐標為（0，1）、（0，3）、（0，$\frac{7}{2}$）、（0，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題需要熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟和方法、二次函數(shù)表達式的三種基本形式、相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．