Question

9．如圖，已知點D是Rt△ABC的斜邊BC上的一點，tanB=$\frac{1}{k}$，BC=（k+1）BD，CE⊥AD，則$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$（用含k的代數式表示）．

Answer 1

分析 根據題意結合平行線的性質得出$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{k}$，進而利用銳角三角函數關系得出tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{DF}{AF}$，進而得出答案．

解答 解：過點D作DF⊥AB于點F，
∵∠CAB=90°，DF⊥AB，
∴AC∥DF，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BF}{AF}$，
∵BC=（k+1）BD，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{k}$，
∴AF=k•BF
∵tanB=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{DF}{FB}$=$\frac{1}{k}$，
∴DF=$\frac{1}{k}$FB，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\frac{1}{k}FB}{AF}$=$\frac{\frac{1}{k}FB}{k•FB}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
∵CE⊥AD，
∴tan∠ACE=$\frac{AE}{EC}$，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ACE=∠DAF，
∴tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{k}^{2}}$．

點評 此題主要考查了平行線分線段成比例定理以及銳角三角函數關系等知識，正確得出tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{DF}{AF}$是解題關鍵．