Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a（x-1）²+k的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上．若四邊形ACBD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形．求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，可得以下四種情況：
（1）以菱形長(zhǎng)對(duì)角線兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線開(kāi)口向上；
（2）以菱形長(zhǎng)對(duì)角線兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線開(kāi)口向下；
（3）以菱形短對(duì)角線兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線開(kāi)口向上；
（4）以菱形短對(duì)角線兩頂點(diǎn)作為A、B，且拋物線開(kāi)口向下，
解答時(shí)都利用四邊形ACBD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且有一個(gè)內(nèi)角為60°的條件根據(jù)解直角三角形的相關(guān)知識(shí)解答．
解答：解：本題共有4種情況．
設(shè)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）如圖①，
當(dāng)∠CAD=60°時(shí)，
因?yàn)锳CBD是菱形，一邊長(zhǎng)為2，
所以DE=1，BE=，（1分）
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1），
解得k=-1，a=．
所以y=（x-1）²-1．（2分）


（2）如圖②，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-）．
解得k=-，a=，
所以y=（x-1）²-．（4分）
同理可得：y=-（x-1）²+1，y=-（x-1）²+．（8分）
所以符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式有：y=（x-1）²-1，y=（x-1）²-，
y=-（x-1）²+1，y=-（x-1）²+．
點(diǎn)評(píng)：解答此題不僅要熟知二次函數(shù)的性質(zhì)，還要熟悉菱形的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)圖上點(diǎn)的特點(diǎn)，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)，求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，得到B、C的坐標(biāo)，代入解析式求出a的值即可．