Question

如圖，已知雙曲線y=-

1

x

與兩直線y=-

1

4

x，y=-kx（k＞0，且k≠

1

4

）分別相交于A、B、C、D四點．
（1）當(dāng)點C的坐標(biāo)為（-1，1）時，A、B、D三點坐標(biāo)分別是A（

 

，

 

），B（

 

，

 

），D（

 

，

 

）．
（2）證明：以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形．
（3）當(dāng)k為何值時，?ADBC是矩形．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,兩點間的距離公式,一次函數(shù)的應(yīng)用,平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：綜合題

分析：（1）由C坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的中心對稱性確定出D坐標(biāo)，聯(lián)立雙曲線y=-

1

x

與直線y=-

1

4

x，求出A與B坐標(biāo)即可；
（2）由反比例函數(shù)為中心對稱圖形，利用中心對稱性質(zhì)得到OA=OB，OC=OD，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證；
（3）由A與B坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出AB的長，聯(lián)立雙曲線y=-

1

x

與直線y=-kx，表示出CD的長，根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形，得到AB=CD，即可求出此時k的值．

解答：解：（1）∵C（-1，1），C，D為雙曲線y=-

1

x

與直線y=-kx的兩個交點，且雙曲線y=-

1

x

為中心對稱圖形，
∴D（1，-1），
聯(lián)立得：

y=- 1 x y=- 1 4 x

，
消去y得：-

1

4

x=-

1

x

，即x²=4，
解得：x=2或x=-2，
當(dāng)x=2時，y=-

1

2

；當(dāng)x=-2時，y=

1

2

，
∴A（-2，

1

2

），B（2，-

1

2

）；
故答案為：-2，

1

2

，2，-

1

2

，1，-1；

（2）∵雙曲線y=-

1

x

為中心對稱圖形，且雙曲線y=-

1

x

與兩直線y=-

1

4

x，y=-kx（k＞0，且k≠

1

4

）分別相交于A、B、C、D四點，
∴OA=OB，OC=OD，
則以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形；

（3）若?ADBC是矩形，可得AB=CD，
聯(lián)立得：

y=- 1 x y=-kx

，
消去y得：-

1

x

=-kx，即x²=

1

k

，
解得：x=

1 k

或x=-

1 k

，
當(dāng)x=

1 k

時，y=-

k

；當(dāng)x=-

1 k

時，y=

k

，
∴C（-

1 k

，

k

），D（

1 k

，-

k

），
∴CD=

(- 1 k - 1 k )2+( k + k )2

=AB=

(-2-2)2+( 1 2 + 1 2 )2

=

17

，
整理得：（4k-1）（k-4）=0，
k₁=

1

4

，k₂=4，
又∵k≠

1

4

，∴k=4，
則當(dāng)k=4時，?ADBC是矩形．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，平行四邊形，矩形的判定，兩點間的距離公式，以及中心圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．