Question

11．如圖，已知拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	$-\frac{5}{2}$	-4	$-\frac{5}{2}$	0	…

（1）求拋物線表達式及A、B、C三點的坐標；
（2）若點D的坐標為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并求出面積的最大值及m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖表中的每對x、y的值，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）易證△ADG∽△AOC，AD=2-m，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，就可以用m表示出DG的長，再根據(jù)△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，就可以得到OE，因而ED就可以表示出來．因而S與m的函數(shù)關(guān)系就可以得到．

解答 解：（1）設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三組值代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=-\frac{5}{2}}\\{4a-2b+c=-4}\\{a+b+c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
故解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-4

（2）由題意，$\frac{AD}{AO}=\frac{DG}{OC}$，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又∵$\frac{BE}{BO}$=$\frac{EF}{OC}$，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_矩形DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的解析式組成的方程組求函數(shù)交點坐標的方法，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．