Question

11．如圖，在△ABC中內(nèi)取一點，使∠PBA=∠PCA，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，求證：DE的垂直平分線必過BC的中點M．

Answer 1

分析 取BC，PB，PC的中點M，N，F(xiàn)，連接MN，MF，E，DN，DM，EM，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到MF=$\frac{1}{2}$BP，MN=$\frac{1}{2}$PC，MF∥PN，MN∥PF，推出四邊形NMFP是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得到∠PNM=∠PFM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DN=$\frac{1}{2}$PB，EF=$\frac{1}{2}$PC，等量代換得到DN=MF，MN=EF，推出△DNM≌△MFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM=EM，由等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：取BC，PB，PC的中點M，N，F(xiàn)，連接MN，MF，E，DN，DM，EM，
∴MF=$\frac{1}{2}$BP，MN=$\frac{1}{2}$PC，MF∥PN，MN∥PF，
∴四邊形NMFP是平行四邊形，
∴∠PNM=∠PFM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DN=$\frac{1}{2}$PB，EF=$\frac{1}{2}$PC，
∴DN=MF，MN=EF，
∵∠DNP=2∠ABP，∠PFE=2∠ACD，
∵∠ABP=∠ACD，
∴∠DNP=∠PFE，
∴∠DNM=∠EFM，
在△DNM與△MFE中，$\left\{\begin{array}{l}{DN=FM}\\{∠DNM=∠EFM}\\{MN=EF}\end{array}\right.$，
∴△DNM≌△MFE，
∴DM=EM，
∴△DME是等腰三角形，
∴底邊DE的垂直平分線（過M點）必是BC的中點M．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．