已知直角坐標(biāo)系中有一點A(-4,3),點B在x軸上,△AOB是等腰三角形.
(1)求滿足條件的所有點B的坐標(biāo).(直接寫出答案)
(2)求過O、A、B三點且開口向下的拋物線的函數(shù)解析式.(只需求出滿足條件的即可).
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點p,使得以O(shè)、A、B、P四點為頂點的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積.
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:壓軸題
分析:(1)根據(jù)點A的坐標(biāo),易求得OA=5,若△AOB是等腰三角形,應(yīng)分三種情況考慮:
①OA=OB=5,由于點B的位置不確定,因此要分B在x軸正、負(fù)半軸兩種情況求解,已知了OB的長,即可得到點B的坐標(biāo);
②OA=AB=5,此時點B只能在x軸負(fù)半軸上,那么點B的橫坐標(biāo)應(yīng)為點A橫坐標(biāo)的2倍,可據(jù)此求得點B的坐標(biāo);
③AB=OB=5,此時點B只能在x軸負(fù)半軸上,可在x軸上截取AD=OA,通過構(gòu)建相似三角形:△OBA∽△OAD,通過所得比例線段來求出OB的長,從而得到點B的坐標(biāo).
(2)任選一個(1)題所得的B點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解即可.
(3)解此題時,雖然不同的拋物線有不同的解,但解法一致;分兩種情況:
①OA∥BP時,可分別過A、P作x軸的垂線,設(shè)垂足為C、E,易證得△AOC∽△PBE,根據(jù)所得比例線段,即可求得點P的坐標(biāo).而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出.
②OP∥AB時,方法同上,過P作PF⊥x軸于F,然后通過相似三角形:△ABC∽△POF,來求出P點坐標(biāo),梯形面積求法同上.(當(dāng)OA=AB時,兩種情況的點P正好關(guān)于拋物線對稱軸對稱,可據(jù)此直接求出P點坐標(biāo),避免重復(fù)計算.)
解答:解:作AC⊥x軸,由已知得OC=4,AC=3,OA=
OC2+AC2
=5.
(1)當(dāng)OA=OB=5時,
如果點B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(1),點B的坐標(biāo)為(-5,0);
如果點B在x軸的正半軸上,如圖(2),點B的坐標(biāo)為(5,0);

當(dāng)OA=AB時,點B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(3),BC=OC,則OB=8,點B的坐標(biāo)為(-8,0);
當(dāng)AB=OB時,點B在x軸的負(fù)半軸上,如圖(4),在x軸上取點D,使AD=OA,可知OD=8.
由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,
OB
OA
=
OA
AD
,
解得OB=
25
8

點B的坐標(biāo)為(-
25
8
,0).


(2)當(dāng)AB=OA時,拋物線過O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三點,
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx,
可得方程組
64a-8b=0
16a-4b=3

解得
a=-
3
16
b=-
3
2
,
∴y=-
3
16
x2-
3
2
x;
當(dāng)OA=OB時,同理得y=-
3
4
x2-
15
4
x;

(3)當(dāng)OA=AB時,若BP∥OA,如圖(5),作PE⊥x軸,
則∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,
∴△AOC∽△PBE,
PE
BE
=
AC
OC
=
3
4

設(shè)BE=4m,PE=3m,則點P的坐標(biāo)為(4m-8,-3m),
代入y=-
3
16
x2-
3
2
x,
解得m=3;
則點P的坐標(biāo)為(4,-9),
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48.
若OP∥AB,根據(jù)拋物線的對稱性可得點P的坐標(biāo)為(-12,-9),
S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48.


當(dāng)OA=OB時,若BP∥OA,如圖(6),作PF⊥x軸,
則∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,
△AOC∽△PBF,
PF
BF
=
AC
OC
=
3
4
;
設(shè)BF=4m,PF=3m,則點P的坐標(biāo)為(4m-5,-3m),
代入y=-
3
4
x2-
15
4
x,
解得m=
3
2
.則點P的坐標(biāo)為(1,-
9
2
),
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=
75
4

若OP∥AB(圖略),作PF⊥x軸,
則∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,
△ABC∽△POF,
PF
OP
=
AC
BC
=3

設(shè)點P的坐標(biāo)為(-n,-3n),
代入y=-
3
4
x2-
15
4
x,
解得n=9.
則點P的坐標(biāo)為(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75.
點評:此題考查了等腰三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識.同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,一定要考慮全面,避免漏解.
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2
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=
3
x
;               
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1-x
2-x
-3=
1
x-2

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