Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)O任作一直線分別交BC、AD于點(diǎn)M、N（如圖①）．

（1）求證：BM=DN；

（2）如圖②，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，求證：四邊形AMCN是菱形；

（3）在（2）的條件下，若△CDN的面積與△CMN的面積比為13，求的值．

 

Answer 1

（1）證法一：連接BD，則BD過(guò)點(diǎn)O．

∵AD∥BC，    ∴∠OBM=∠ODN．

又OB=OD， ∠BOM=∠DON，    

∴△OBM≌△ODN．          

∴BM=DN．                  

證法二：∵矩形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)O是對(duì)稱(chēng)中心．

∴B、D和M、N關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．

     ∴BM=DN． 

（2）證法一：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC．          

 又BM=DN，    ∴AN=CM．   

        ∴四邊形AMCN是平行四邊形． 

由翻折得，AM=CM，            

∴四邊形AMCN是菱形．       

證法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，

∠AMN=∠CMN．

∵AD∥BC， ∴∠ANM=∠CMN．

∴∠AMN=∠ANM．    ∴AM=AN．

∴AM=MC=CN=NA．       

∴四邊形AMCN是菱形．     

（3）解法一：∵，，

又：=13，

∴DNCM=13     

設(shè)DN=k，則CN=CM=3k．

過(guò)N作NG⊥MC于點(diǎn)G，

則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k． 

NG=

∴MN=

∴ ．                

解

法二：∵，，

又：=13，   ∴DNCM=13   

連接AC，則AC過(guò)點(diǎn)O，且AC⊥MN．

設(shè)DN=k，則CN=AN=CM=3k，AD=4 k．

CD=         

OC=

∴MN=

∴ ．