Question

已知：如圖1，直線y=

1

3

x與雙曲線y=

k

x

交于A，B兩點，且點A的坐標為（6，m）．
（1）求雙曲線y=

k

x

的解析式；
（2）點C（n，4）在雙曲線y=

k

x

上，求△AOC的面積；
（3）過原點O作另一條直線l與雙曲線y=

k

x

交于P，Q兩點，且點P在第一象限．若由點A，P，B，Q為頂點組成的四邊形的面積為20，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先利用正比例函數(shù)解析式計算出A點坐標，再把A點坐標代入反比例函數(shù)y=

k

x

，可得反比例函數(shù)解析式；
（2）分別過點C，A作CD⊥x軸，AE⊥x軸，再利用反比例函數(shù)解析式計算出點C的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)解析式計算出S_△CDO=S_△AEO=

1

2

|k|，再用S_△AOC=S_{四邊形COEA}-S_△AOE=S_{四邊形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，即可算出答案；
（3）由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即為5．可根據(jù)雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為5，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵點A（6，m）在直線y=

1

3

x上，
∴m=

1

3

×6=2，
∴A（6，2），
∵點A（6，2）在雙曲線y=

k

x

上，
∴2=

k

6

，
解得：k=12．
故雙曲線的解析式為y=

12

x

；

（2）分別過點C，A作CD⊥x軸，AE⊥x軸，
垂足分別為點D，E．（如圖1）
∵點C（n，4）在雙曲線y=

12

x

上，
∴4=

12

n

，
解得：n=3，
即點C的坐標為（3，4），
∵點A，C都在雙曲線y=

12

x

上，
∴S△AOE=S△COD=

1

2

×12=6．
∴S_△AOC=S_{四邊形COEA}-S_△AOE=S_{四邊形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=

1

2

(CD+AE)•DE=

1

2

×(4+2)×(6-3)=9；

（3））∵反比例函數(shù)圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S_△POA=

1

4

S_{平行四邊形APBQ}=

1

4

×20=5，
設點P的橫坐標為m（m＞0且m≠6），
得P（m，

12

m

），
過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴S_△POE=S_△AOF=6，
若0＜m＜6，如圖，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5．
∴

1

2

（2+

12

m

）•（6-m）=5．
∴m=4，m=-9（舍去），
∴P（4，3）；
若m＞6，如圖，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5．
∴

1

2

（2+

12

m

）•（m-6）=5，
解得m=9，m=-5（舍去），
∴P（9，

4

3

）．
故點P的坐標是：P（4，3）或P(9，

4

3

)．

點評：本題考查了反比例解析式的確定和性質(zhì)、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．難點是不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差來求解．