Question

如圖，直線l：y=

3

4

x+6交x、y軸分別為A、B兩點，C點與A點關(guān)于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．
（1）點A坐標(biāo)是

 

，點B的坐標(biāo)

 

，BC=

 

．
（2）當(dāng)點P在什么位置時，△APQ≌△CBP，說明理由．
（3）在（2）的條件下，可得點Q的橫坐標(biāo)為-

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，在x軸上是否存在點M，使得MQ+MB的值最�。咳绻�存在求出點M的坐標(biāo)，如果不存在請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據(jù)點的坐標(biāo)求出AP=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
（3）先找到B點關(guān)于x軸對稱的點B′的坐標(biāo)，把點Q的橫坐標(biāo)為-

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代入直線l可得點Q的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得直線B′Q的解析式，把y=0代入該函數(shù)的解析式，即可求出點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=

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x+6
∴當(dāng)x=0時，y=6，
當(dāng)y=0時，x=-8，
即點A的坐標(biāo)是（-8，0），點B的坐標(biāo)是（0，6），
∵C點與A點關(guān)于y軸對稱，
∴C的坐標(biāo)是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC=

62+82

=10，

（2）當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，0）時，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BP，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C關(guān)于y軸對稱，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，

∠AQP=∠BPC ∠BAO=∠BCP AP=BC

，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，0）時，△APQ≌△CBP．

（3）B點關(guān)于x軸對稱的點B′的坐標(biāo)為（0，-6），
把點Q的橫坐標(biāo)為-

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代入直線l可得y=

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×（-

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5

）+6=

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，
則點Q的坐標(biāo)為（-

16

5

，

18

5

），
設(shè)直線B′Q的解析式為y=kx+b，則

b=-6 - 16 5 k+b= 18 5

，
解得

k=-3 b=-6

，
故直線B′Q的解析式為y=-3x-6，
把y=0代入y=-3x-6可得0=-3x-6，解得x=-2，
故點M的坐標(biāo)為（-2，0）．
故答案為：（-8，0），（0，6），10．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，勾股定理，軸對稱最短路線，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強，難度偏大．