Question

長沙市某商業(yè)公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量 m（件）與時間t（天）的關(guān)系如下表：

時間t（天）	1	3	10	20	21	22	40
日銷售量 m（件）	98	94	80	60	61	62	80

未來40天內(nèi)，該商品每天的價格y（元∕件）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

1 4 t+25        (1≤t≤20，t為整數(shù)) - 1 2 t+40      (21≤t≤40，t為整數(shù))

根據(jù)以上提供的條件解決下列問題：
（1）認真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)的知識分別確定1≤t≤20，21≤t≤40時，滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；
（2）請預(yù)測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大的銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜4）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，求a的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)t的取值范圍分兩段根據(jù)利潤=單件的利潤×銷售量，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）整理得到捐贈后的利潤表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性從對稱軸考慮列出不等式，然后求解即可．

解答：解：（1）當1≤t≤20（t為整數(shù)）時，將

t=1 m=98

和

t=3 m=94

代入一次函數(shù)m=kt+b中，有

k+b=98 3k+b=94

，
解得

k=-2 b=100

，
所以m=-2t+100；
當21≤t≤40（t為整數(shù)）時，將

t=21 m=61

和

t=40 m=80

代入一次函數(shù)m=kt+b中，有

21k+b=61 40k+b=80

，
解得

k=1 b=40

，
所以m=t+40，
綜上可得：m=

-2t+100(1≤t≤20) t+40(21≤t≤40)

；

（2）設(shè)前20天日銷售利潤為P₁元，后20天的日銷售利潤為P₂元，
當1≤t≤20（t為整數(shù)）時，P₁=（-2t+100）（

1

4

t+25-20）=-

1

2

t²+15t+500，
=-

1

2

（t-15）²+612.5，
所以，t=15時，P₁有最大值612.5元；
當21≤t≤40（t為整數(shù)）時，P₂=（t+40）（-

1

2

t+40-20），
=-

1

2

t²+800，
所以，t=21時，P₂有最大值-

1

2

×21²+800=579.5元，
綜上可得：當t=15時，利潤最大，為612.5元；

（3）當1≤t≤20（t為整數(shù)）時，
P₁=（-2t+100）（

1

4

t+25-20-a）=-

1

2

t²+（15+2a）t+500-100a，
對稱軸為：t=

-(15+2a)

2×(- 1 2 )

=15+2a，
∵前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，
∴15+2a≥20，
解得a≥2.5，
所以，a的最小值是2.5．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的增減性求二次函數(shù)的最值問題，理清題目數(shù)量關(guān)系列出利潤表達式是解題的關(guān)鍵．