Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AB=1，分別以點(diǎn)B、C為圓心，1為半徑畫弧，與BC邊分別交于點(diǎn)M、N，且與對(duì)角線AC交于同一點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積為$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 連接BP、DP，根據(jù)題意得出AP=CP=AB=PD=CD=1，AC=2=2AB，得出∠PCD=60°，由矩形的性質(zhì)求出∠ACB=30°，得出∠BAC=60°，證出△ABP為等邊三角形，得出∠ABP=60°，求出扇形ABP的面積和△ABP的面積，得出陰影AP的面積=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，作PQ⊥BC于Q，則陰影PMQ的面積=陰影PNQ的面積=$\frac{1}{2}$陰影AP的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接BP、DP，如圖所示：
根據(jù)題意得：AP=CP=AB=PD=CD=1，AC=2=2AB，
∴∠PCD=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABP為等邊三角形，
∴∠ABP=60°，
∴扇形ABP的面積=$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，△ABP的面積=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴陰影AP的面積=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
作PQ⊥BC于Q，
則陰影PMQ的面積=陰影PNQ的面積=$\frac{1}{2}$陰影AP的面積，
∴圖中陰影部分的面積=（$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積公式等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．