Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q（4，m）．
（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連接0P、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)（

1

2

，8）代入反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)，確定反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；再把點(diǎn)Q（4，m）代入反比例函數(shù)的解析式得到Q的坐標(biāo)，然后把Q的坐標(biāo)代入直線y=-x+b，即可確定b的值；
（2）把反比例函數(shù)和直線的解析式聯(lián)立起來，解方程組得到P點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于y=-x+5，令y=0，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)（

1

2

，8）代入反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)，得k=

1

2

×8=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；
又∵點(diǎn)Q（4，m）在該反比例函數(shù)圖象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1），
而直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)Q（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5；

（2）聯(lián)立

y=-x+5 y= 4 x

，
解得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
對(duì)于y=-x+5，令y=0，得x=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式以及求兩個(gè)圖象交點(diǎn)的方法（轉(zhuǎn)化為解方程組）；也考查了利用面積的和差求圖形面積的方法．